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Commit ff50419

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PID Regler überarbeitet (Formeln ergänzt, Bilder hinzugefügt)
1 parent aced68a commit ff50419

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+187
-29
lines changed

‎.gitignore

+2
Original file line numberDiff line numberDiff line change
@@ -32,3 +32,5 @@ RegT2.pdf
3232
*.toc
3333
*.vrb
3434
*.xdy
35+
/RegT2.tcp
36+
/RegT2.tps

‎RegT2.tex

+1
Original file line numberDiff line numberDiff line change
@@ -30,6 +30,7 @@
3030
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
3131
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
3232
\input{sections/GegenkopplungStabilitaet}
33+
\newpage
3334
\input{sections/PidRegler}
3435
\input{sections/Diverses}
3536
\input{sections/BodeApproximation}

‎images/PD_Regler.png

33.4 KB
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‎images/PID_Regler.png

29.3 KB
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‎images/PI_Regler.jpg

1.2 KB
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‎sections/PidRegler.tex

+117-29
Original file line numberDiff line numberDiff line change
@@ -2,9 +2,10 @@ \section{PID-Regler \formelbuch{147}}
22

33
\subsection{P-Regler - Stationärer Zustand \formelbuch{155}}
44
Beim einfachsten linearen Regler, dem P-Typ, besteht ein proportionaler
5-
Zusammenhang zwischen Fehler $e$ und Stellgrösse $u$.\\
5+
Zusammenhang zwischen Fehler $e$ und Stellgrösse $u$.
66
Der P-Regler reagiert schnell, kann aber den Sprungfehler nicht vollständig
7-
eliminieren. Er hat einen stationären Fehler.
7+
eliminieren. Er hat einen stationären Fehler. Eine zu hohe Verstärkung $K_R$ führt
8+
zu Rauschen.
89

910

1011
\subsection{I-Regler \formelbuch{160}}
@@ -17,48 +18,103 @@ \section{PID-Regler \formelbuch{147}}
1718

1819

1920
\subsection{$PT_2$-Glied \formelbuch{163}}
20-
\begin{tabular}{p{5cm}p{3cm}p{4cm}p{4cm}}
21-
$T_\omega = 2T_m=\frac{2\pi}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}}=\frac{2\pi}{\omega}$ & $\omega = \frac{2\pi}{T_\omega}=2\pi f$ & $T_\omega$: Schwingungsdauer & $\omega_n$: Kennkreisfrequenz\\
22-
& & $\zeta$:Dämpfungskonstante & $T_m$: Überschwingdauer
23-
\end{tabular}
21+
\renewcommand{\arraystretch}{2}
22+
\begin{tabular}{|m{7cm}|m{1cm}m{0.5cm}m{8cm}}
23+
\cline{1-1}
24+
$T_\omega = 2T_m=\dfrac{2\pi}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2}}=\dfrac{2\pi}{\omega}$ & &
25+
$T_{\omega}$: & Schwingungsdauer \\
26+
\cline{1-1}
27+
$T_e = \dfrac{\ln\left(\epsilon\sqrt{1-\zeta^2}\right)}{-\omega_n\cdot\zeta} =
28+
\dfrac{1}{\sigma}\ln\left(\dfrac{\epsilon\omega}{\omega_n}\right)$ & &
29+
$T_e$: & Einschwingzeit \\
30+
\cline{1-1}
31+
$T_m = \dfrac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}=\dfrac{\pi}{\omega}$ & &
32+
$T_m$: & Überschwingungsdauer\\
33+
\cline{1-1}
34+
$\omega = \dfrac{1}{T}\sqrt{1-\zeta^2}= \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}=\dfrac{2\pi}{T_\omega}=2\pi f$ & &
35+
$\omega$: & Kreisfrequenz \\
36+
\cline{1-1}
37+
$\omega_n = \dfrac{1}{T}$ & &
38+
$\omega_n$: & Kennkreisfrequenz \\
39+
\cline{1-1}
40+
$\sigma = -\dfrac{\zeta}{T} = -\zeta\omega_n$ & &
41+
$\zeta$: & Dämpfungskonstante \\
42+
\cline{1-1}
43+
$\epsilon = \dfrac{\Delta y}{y_{\infty}}$ & &
44+
$\Delta y$: & Toleranzbereich der Amplitude im eingeschwungenen Zustand \\
45+
\cline{1-1}
46+
\end{tabular}
47+
\renewcommand{\arraystretch}{1}
2448

2549
\subsubsection{Dämpfung}
2650
Optimal bei $\Psi=45$ und $\zeta=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
2751
Dabei erreicht die Regelgrösse $y$ nach $4.3\%$ Überschwingen rasch den Endwert.
28-
\subsubsection{Berechnung $\zeta$}
29-
Aus DGL $\ddot{y}+a_1\dot{y}+a_0 y=\ldots$ folgt $a_1=2\zeta\omega_n$, $a_0=\omega_n^2$ $\Rightarrow \zeta=\frac{a_1}{2\sqrt{a_0}}$ \\
30-
Mittels Überschwingweite kann $\zeta$ ebenfalls berechnet werden\\
31-
\begin{tabular}{p{3cm}p{3cm}p{6cm}}
32-
$\zeta = \frac{1}{\sqrt{1+(\frac{\pi}{c})^2}}$ & $c =ln(\frac{y_m}{y_{\infty}})$ & $y_m$: Überschwingweite
33-
\end{tabular}
52+
53+
\subsubsection{Berechnung $\zeta$}
54+
Aus DGL $\ddot{y}+a_1\dot{y}+a_0 y=\ldots$ folgt $a_1=2\zeta\omega_n$,
55+
$a_0=\omega_n^2$ $\Rightarrow \zeta=\frac{a_1}{2\sqrt{a_0}}$ \\
56+
Mittels Überschwingweite kann $\zeta$ ebenfalls berechnet werden\\
57+
\begin{tabular}{p{3cm}p{3cm}p{6cm}}
58+
$\zeta = \frac{1}{\sqrt{1+(\frac{\pi}{c})^2}}$ & $c =ln(\frac{y_m}{y_{\infty}})$ & $y_m$: Überschwingweite
59+
\end{tabular}
3460

3561
Weitere Formeln in der LTI-Grundglieder Tabelle
3662

3763
\subsection{PI-Regler \formelbuch{174}}
38-
\includegraphics[width=10cm]{./images/PI_Regler.jpg} \\
39-
\fbox{$G(j\omega)=K_R \frac{1+j\omega T_N}{j\omega T_N}$}\qquad
40-
\fbox{$arg(G(j\omega))=\arctan(\omega T_N)-\frac{\pi}{2}$}\qquad
41-
\fbox{$|G(j\omega)| = \frac{K_R \sqrt{1+(\omega T_n)^2}}{T_n \omega}$}
64+
\begin{tabular}{m{10cm}m{8cm}}
65+
\includegraphics[width=10cm]{./images/PI_Regler.jpg} &
66+
{\fbox{$G(j\omega)=K_R \dfrac{1+j\omega T_N}{j\omega T_N}$} \newline
67+
\fbox{$arg(G(j\omega))=\arctan(\omega T_N)-\dfrac{\pi}{2}$}\newline
68+
\fbox{$|G(j\omega)| = \dfrac{K_R \sqrt{1+(\omega T_n)^2}}{T_n \omega}$}
69+
\vfill
70+
}
71+
\end{tabular}
4272

43-
\subsection{D-Glied \formelbuch{179}}
73+
74+
\subsection{D-Glied \formelbuch{179/183}}
4475
Der Differenzierer erzeugt ein Korrektursignal im voraus.
4576
Nachteilig ist, wenn die Regelgrösse verrauscht ist, dann werden die
4677
hochfrequenten Störsignale durch die Ableitung verstärkt.\\
4778
Ein LTI-System, welches ohne D-Glied darstellbar ist, gegebenenfalls durch
4879
Umformung des Blockdiagramms, heisst realisierbar. In der Realität wird
4980
meistens kein reines D-Glied sondern ein $DT_1$-Glied verwendet:\\
50-
\fbox{$G_{DT_1}(s) = \frac{s T_V}{1+ s T_C}$}
51-
52-
\subsection{PD-Regler \formelbuch{187} \formelbuch{383}}
53-
Der PD-Regler entspricht dem inversen PT$_1$-Glied. Meistens wird jedoch
54-
der $PDT_1$ Regler verwendet.\\
55-
\fbox{$u=K_R at+K_R T_V a$}
56-
\fbox{$G_{PD}(s) = K_R (T_V s + 1) $}
57-
\fbox{$G_{PDT_1}(s) = K_R \frac{1+s(T_V+T_C)}{1+sT_C}$}
58-
59-
\subsection{PID-Regler \formelbuch{183} \formelbuch{383}}
60-
\fbox{$G_{PID}(s) = K_R \left(1 + \frac{1}{s T_N} + s T_V \right)$}
61-
\fbox{$G_{PIDT_1}(s) = K_R \left(1 + \frac{1}{s T_N} + \frac{s T_V}{1+s T_C} \right)$}
81+
\fbox{$G_{DT_1}(s) = \frac{s T_V}{1+ s T_C}$} \\
82+
\begin{tabular}{|l||lll|}
83+
\hline
84+
\parbox[c][2cm]{3cm}{\input{./tikz/DSymbol}} &
85+
\parbox[c][2cm]{4.5cm}{\input{./tikz/DT1GliedBlockdiagramm}} &
86+
$\Rightarrow$ &
87+
\parbox[c][2cm]{3cm}{\input{./tikz/DT1GliedStruktur}}\\
88+
$D$-Glied &
89+
$D$-Glied \qquad $PT_1$-Glied & &
90+
$DT_1$-Glied \\
91+
\hline
92+
\end{tabular}
93+
94+
95+
96+
\subsection{PD-Regler \formelbuch{187/383}}
97+
\begin{tabular}{m{10cm}m{8cm}}
98+
\includegraphics[width=10cm]{./images/PD_Regler.png} &
99+
{
100+
Der PD-Regler entspricht dem inversen PT$_1$-Glied. Meistens wird jedoch
101+
der $PDT_1$ Regler verwendet.\newline
102+
\fbox{$u=K_R at+K_R T_V a$} \newline
103+
\fbox{$y = K_R \left(1+\dfrac{T_V}{T_C}\cdot \e^{-\dfrac{t}{T_C}}\right)$} \newline
104+
\fbox{$G_{PDT_1}(s) = K_R \dfrac{1+s(T_V+T_C)}{1+sT_C}$}
105+
}
106+
\end{tabular}
107+
108+
109+
\subsection{PID-Regler \formelbuch{183/383}}
110+
\begin{tabular}{m{10cm}m{8cm}}
111+
\includegraphics[width=10cm]{./images/PID_Regler.png} &
112+
{
113+
\fbox{$G_{PID}(s) = K_R \left(1 + \frac{1}{s T_N} + s T_V \right)$}
114+
\fbox{$G_{PIDT_1}(s) = K_R \left(1 + \frac{1}{s T_N} + \frac{s T_V}{1+s T_C} \right)$}
115+
}
116+
\end{tabular}
117+
62118

63119
\subsection{Empirische Einstellregeln \formelbuch{188}}
64120
\includegraphics[width=13cm]{./images/Empirisch_Regeln.jpg}
@@ -109,7 +165,39 @@ \section{PID-Regler \formelbuch{147}}
109165
& $T_V$ & $0.5T_u$ & $0.47T_u$ & $0.42T_u$ & $0.42T_u$ & $0.5T_u$ & $0.125T_\pi$
110166
\\ \hline
111167
\end{tabular}
168+
169+
Empirisch Einstellregeln ergeben praktisch nicht immer das bestmögliche Zeitverhalten,
170+
sondern sie liefern eine erste Einstellung, welche experimentell noch verbessert werden kann.
112171

113172

114173
\subsection{Wind-Up \formelbuch{200}}
174+
\begin{tabular}{lp{15cm}}
175+
\textbf{Definition:} &
176+
Der Fehler $e$ am Integratoreingang bleibt konstant, sodass dessen
177+
Ausgangssignal ständig zunimmt. \\
178+
179+
\textbf{Folge:} &
180+
Einerseits ein konstanter Fehler und andererseits eine verzögert reagierende
181+
und damit stark überschwingende Regelgrösse $y$.
182+
\end{tabular}
183+
184+
\begin{multicols}{2}
185+
\textbf{Ursachen für Wind-Up:}
186+
\begin{itemize}[leftmargin=*]
187+
\item I-Anteil
188+
\item Sättigung am Regler Ausgang
189+
\item $e(t)$ über "`längere Zeit"' $\neq 0$ ist.
190+
\end{itemize}
191+
192+
\columnbreak
193+
194+
\textbf{Anti-Wind-Up:}
195+
\begin{itemize}[leftmargin=*]
196+
\item Integration beschränken
197+
\end{itemize}
198+
199+
200+
\end{multicols}
201+
202+
115203

‎tikz/DSymbol.tex

+11
Original file line numberDiff line numberDiff line change
@@ -0,0 +1,11 @@
1+
\begin{tikzpicture}
2+
\begin{scope}[very thick]
3+
\draw[->] (0,0) -- +(0.5,0) node[near start, above] {u};
4+
\draw (0.5,-0.6) rectangle +(1.5,1.2);
5+
\draw[->] (2,0) -- +(0.5,0) node[near end, above] {y};
6+
\draw(0.9, -0.2) rectangle +(1.1,0.8);
7+
\end{scope}
8+
9+
\node at (0.7,0.9) {$K_D$};
10+
11+
\end{tikzpicture}

‎tikz/DT1Glied.tex

+20
Original file line numberDiff line numberDiff line change
@@ -0,0 +1,20 @@
1+
\begin{tikzpicture}
2+
\begin{scope}[very thick]
3+
\draw[->] (0,0) -- +(0.5,0) node[near start, above] {u};
4+
\draw (0.5,-0.6) rectangle +(1.5,1.2);
5+
\draw[->] (2,0) -- +(0.5,0) node[near end, above] {y};
6+
\end{scope}
7+
8+
\node at (0.7,0.9) {$T_V$};
9+
\node at (1.8,0.9) {$T_C$};
10+
11+
% Inhalt
12+
\begin{scope}[shift={(0.8,-0.4)}]
13+
\draw[->, thick] (-0.2,0) -- +(1.3,0);
14+
\draw[->, thick] (0,-0.1) -- +(0,1);
15+
16+
\draw[blue, very thick] (-0.2,0.8) -- ++(0.2,0)
17+
.. controls (0.1,0.5) and (0.3,0) .. (1,0);
18+
\end{scope}
19+
20+
\end{tikzpicture}

‎tikz/DT1GliedBlockdiagramm.tex

+23
Original file line numberDiff line numberDiff line change
@@ -0,0 +1,23 @@
1+
\begin{tikzpicture}
2+
%D-Glied
3+
\begin{scope}[very thick]
4+
\draw[->] (0,0) -- +(0.5,0) node[near start, above] {};
5+
\draw (0.5,-0.6) rectangle +(1.5,1.2);
6+
\draw[->] (2,0) -- +(0.5,0) node[near end, above] {};
7+
\draw(0.9, -0.2) rectangle +(1.1,0.8);
8+
\end{scope}
9+
10+
\node at (0.7,0.9) {$T_V$};
11+
12+
%PT1-Glied
13+
\begin{scope}[very thick]
14+
\draw (2.5,-0.6) rectangle +(1.5,1.2);
15+
\draw[->] (4,0) -- +(0.5,0) node[near end, above]{};
16+
\end{scope}
17+
18+
% Zugemüse
19+
\node at (2.7,0.9) {1};
20+
\node at (3.8,0.9) {$T_C$};
21+
\draw[very thick] (2.5,-0.6) .. controls (2.7,0.2) and (3.4,0.5) .. (4,0.5);
22+
23+
\end{tikzpicture}

‎tikz/DT1GliedStruktur.tex

+13
Original file line numberDiff line numberDiff line change
@@ -0,0 +1,13 @@
1+
\begin{tikzpicture}
2+
\begin{scope}[very thick]
3+
\draw[->] (0,0) -- +(0.5,0) node[near start, above] {u};
4+
\draw (0.5,-0.6) rectangle +(1.5,1.2);
5+
\draw[->] (2,0) -- +(0.5,0) node[near end, above] {y};
6+
\end{scope}
7+
8+
% Zugemüse
9+
\node at (0.7,0.9) {$T_V$};
10+
\node at (1.8,0.9) {$T_C$};
11+
\draw[very thick] (0.5,0.5) .. controls (0.7,-0.1) and (1.4,-0.4) .. (2,-0.5);
12+
13+
\end{tikzpicture}

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