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lectures/samuelson.md

+11-11
Original file line numberDiff line numberDiff line change
@@ -105,8 +105,8 @@ Samuelson使用该模型分析了边际消费倾向和加速系数的特定值
105105
* $\{I_t\}$ 是投资率的序列,是另一个关键内生变量。
106106
* $\{Y_t\}$ 是国民收入水平的序列,也是一个内生变量。
107107

108-
- $a$ 是凯恩斯消费函数 $C_t = a Y_{t-1} + \gamma$ 中的边际消费倾向。
109-
- $b$ 是"投资加速器"$I_t = b (Y_{t-1} - Y_{t-2})$ 中的"加速系数"。
108+
- $a$ 是凯恩斯消费函数 $C_t = \alpha Y_{t-1} + \gamma$ 中的边际消费倾向。
109+
- $b$ 是"投资加速器"$I_t = \beta (Y_{t-1} - Y_{t-2})$ 中的"加速系数"。
110110
- $\{\epsilon_{t}\}$ 是一个独立同分布的标准正态随机变量序列。
111111
- $\sigma \geq 0$ 是一个"波动性"参数 --- 当设定 $\sigma = 0$ 时,
112112
我们将得到最初要研究的非随机情况。
@@ -116,15 +116,15 @@ Samuelson使用该模型分析了边际消费倾向和加速系数的特定值
116116
```{math}
117117
:label: consumption
118118
119-
C_t = a Y_{t-1} + \gamma
119+
C_t = α Y_{t-1} + \gamma
120120
```
121121

122122
和投资加速器
123123

124124
```{math}
125125
:label: accelerator
126126
127-
I_t = b (Y_{t-1} - Y_{t-2})
127+
I_t = β (Y_{t-1} - Y_{t-2})
128128
```
129129

130130
以及国民收入恒等式
@@ -136,15 +136,15 @@ Y_t = C_t + I_t + G_t
136136
```
137137

138138
- 参数 $a$ 是人们的收入*边际消费倾向*
139-
- 方程 {eq}`consumption` 表明人们会消费每增加一美元收入中的 $a \in (0,1)$ 部分。
140-
- 参数 $b > 0$ 是投资加速系数 - 方程
139+
- 方程 {eq}`consumption` 表明人们会消费每增加一美元收入中的 $\alpha \in (0,1)$ 部分。
140+
- 参数 $\beta > 0$ 是投资加速系数 - 方程
141141
{eq}`accelerator` 表明当收入增加时人们会投资实物资本,当收入减少时会减少投资。
142142

143143
方程 {eq}`consumption`、{eq}`accelerator` 和 {eq}`income_identity`
144144
推导出以下关于国民收入的二阶线性差分方程:
145145

146146
$$
147-
Y_t = (a+b) Y_{t-1} - b Y_{t-2} + (\gamma + G_t)
147+
Y_t = (\alpha+\beta) Y_{t-1} - \beta Y_{t-2} + (\gamma + G_t)
148148
$$
149149

150150
@@ -155,7 +155,7 @@ $$
155155
Y_t = \rho_1 Y_{t-1} + \rho_2 Y_{t-2} + (\gamma + G_t)
156156
```
157157

158-
其中 $\rho_1 = (a+b)$ 且 $\rho_2 = -b$。
158+
其中 $\rho_1 = (\alpha+\beta)$ 且 $\rho_2 = -\beta$。
159159

160160
为完成这个模型,我们需要两个**初始条件**
161161

@@ -167,7 +167,7 @@ $$
167167
Y_{-1} = \bar Y_{-1}, \quad Y_{-2} = \bar Y_{-2}
168168
$$
169169

170-
我们通常会设置参数$(a,b)$,使得从任意一对初始条件$(\bar Y_{-1}, \bar Y_{-2})$开始,国民收入$Y_t$在$t$变大时会收敛到一个常数值。
170+
我们通常会设置参数$(\alpha,\beta)$,使得从任意一对初始条件$(\bar Y_{-1}, \bar Y_{-2})$开始,国民收入$Y_t$在$t$变大时会收敛到一个常数值。
171171

172172
我们感兴趣的是:
173173

@@ -187,7 +187,7 @@ $$
187187
```{math}
188188
:label: second_stochastic
189189
190-
Y_t = G_t + a (1-b) Y_{t-1} - a b Y_{t-2} + \sigma \epsilon_{t}
190+
Y_t = \gamma + G_t + (α+β) Y_{t-1} - β Y_{t-2} + \sigma \epsilon_{t}
191191
```
192192

193193
### 模型的数学分析
@@ -911,7 +911,7 @@ class Samuelson():
911911
912912
.. math::
913913
914-
Y_t = + \alpha (1 + \beta) Y_{t-1} - \alpha \beta Y_{t-2}
914+
Y_t = + (α + β) Y_{t-1} - β Y_{t-2}
915915
916916
参数
917917
----------

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