publication code d'erreur reed-solomon

Author: sacha

content/images/reed_solomon/graph1.png

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 Title: Code d'erreur de Reed-Solomon 
 Slug: reed-solomon
-Date: 2024-09-22 19:30:31
-Modified: 2024-09-22 19:30:31
+Date: 2024-09-30 19:30:31
+Modified: 2024-09-30 19:30:31
 Tags: algorithme
 Category: informatique
 Author: Sacha schutz
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-Status: draft 
 
-Le code de Reed-Solomon est un algorithme qui va vous permettre de corriger des erreurs dans 
-une séquence en utilisant des symboles surnuméraires. C'est un système de correction 
-d'erreur qui permet par exemple de lire vos vieux CD-ROM tout rayé.
-Pour comprendre, imaginiez que je vous transmette lettre par lettre le mot "c-h-a-t" mais que vous n'avez pas 
-entendu la 3ème lettre. Vous ne pourrez pas interpréter le message. Il pourrait s'agir aussi bien du mot "chut" que du mot "chot".
-Mais en vous communiquant un symbole surnuméraire, par exemple c-h-a-t-z, vous allez pouvoir identifier et corriger l'erreur 
-peut importe ou elle se trouve.    
-Nous allons donc voir comment fonctionne cette algorithme avec le mot 'c-h-a-t' en évitant tout définition mathémtique complexe. 
+Le code de [Reed-Solomon](https://fr.wikipedia.org/wiki/Code_de_Reed-Solomon) est un algorithme conçu pour corriger des erreurs dans une séquence de données en utilisant des symboles supplémentaires. C'est un système de [correction d'erreurs](https://fr.wikipedia.org/wiki/Code_correcteur) utilisé par exemple pour lire vos vieux [CD-ROM](https://en.wikipedia.org/wiki/Cross-interleaved_Reed%E2%80%93Solomon_coding) rayés.    
+Pour mieux comprendre, imaginez que je vous transmets lettre par lettre le mot **c-h-a-t**, mais que la troisième lettre se corrompt en chemin pour devenir **c-h-x-t**. Vous ne pourrez pas interpréter le message correctement. Cependant, en ajoutant un symbole supplémentaire à mon message, par exemple **c-h-a-t-y**, vous allez pouvoir identifier et corriger un erreur peut importe ou elle se trouve grâce au code de Reed-Solomon.
 
+Nous allons donc explorer le fonctionnement de cet algorithme à travers l'exemple du mot *c-h-a-t* et voir comment réaliser cette operation avec notre language préféré [Python](https://www.python.org/).
 
-## Representation du mot chat dans un espace de gallois
+## Representation du mot chat dans un espace discret
 
-Nous allons representer chat lettre du mot chat sur un graphique ou l'axe des ordonnées correspond à la position de la lettre 
-dans l'alphabet et l'axes des absisses corespond à la position  dans le mot. Par exemple le C est la première lettre
-du mot chat et la 3 ème lettre de l'alphabet. Ses coordonnés seront (0,2). De même on aura H (1,x), A(2,y), T(3,y).
+Tout d'abord, representons les lettres du mot *chat* sur un graphique où l'axe des ordonnées indique la position de chaque lettre dans l'alphabet, tandis que l'axe des abscisses correspond à leur position dans le mot. Par exemple, le **C** est la première lettre du mot *chat* et la troisième lettre de l'alphabet, donc ses coordonnées seront (0, 2). De même, nous aurons **H** (1, 7), **A** (2, 0) et **T** (3, 19).
 
+<div class="figure">
+<img src="images/reed_solomon/graph1.png">     
+<div class="legend">
 
-{graph}
+Representation du mot chat dans un espace ou l'axe X represente la position d'une lettre dans le mot
+et l'axe Y la position de la lettre dans l'alphabet. L'index des positions commence à zero.
 
-2 choses à comprendre sur ce graphique. Tout d'abord le domaine d'application des valeurs. Celui ci est discret.
-En effet, les positions sont des nombres entiers car il n'est pas possible d'avoir la position 1.5.     
-Regardez ensuite la borne superieur de l'axes des ordonnées qui est egal à 26 . Il s'agit du nombre de symbol dans l'alphabet. 
+</div>
+</div>
 
 
-## Interpolation lagrangienne
-L'objectif à présent est de trouver une fonction mathématique passant par ces 4 points. Plus exactement, 
-nous allons chercher un polynome de degré 3 ( nombre de lettre - 1 ) en realisant une interpolation lagrangienne. 
-Cette méthode, simple à comprendre, peut être réalisé en python avec `scipi.interpolate.lagrange`.
-
+Deux éléments importants à comprendre concernant ce graphique. Tout d'abord, le domaine des valeurs est discret. En effet, les positions sont des nombres entiers, car il est impossible d'avoir une position comme 1,5.
+Ensuite, observez la borne supérieure de l'axe des ordonnées, qui est égale à 26. Cela correspond au nombre de lettres dans l'alphabet. Nous verrons plus tard, que nous pouvons utiliser l'algèbre modulaire pour avoir une lettre à la position 27.
 
-```python
 
-```
-
-Nous obtenons alors le graphique suivant. 
+## Interpolation lagrangienne
+Maintenant trouvons une fonction mathématique qui passe par ces quatre points. Plus précisément, nous allons rechercher un [polynôme](https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me) de degré 3 (correspondant au nombre de lettres moins un) en effectuant une [interpolation Lagrangienne](https://fr.wikipedia.org/wiki/Interpolation_lagrangienne).
+Cette méthode est relativement simple à comprendre, et je vous invite à l'explorer par vous-même. Nous réaliserons cette interpolation directement en Python en utilisant ```scipy.interpolate.lagrange```.
 
+```python
 
-{ graph }
+from scipy.interpolate import lagrange
 
+x = [0,1,2,3]
+y = [2,7,0,19]
+polynome = lagrange(x,y)
 
-Ce qui est très important à comprendre avec ce polynome, c'est qu'il est unique. Il n'y a qu'un seul polynome de degré 3 qui 
-passe par ces 4 points. C'est sur ce principe que se base la correction d'erreur de Reed-solomon.
-Si vous connaissez au minimum 3 points vous pouvez déduire le polynome de degré 4 et prédire n'importe  n'importe quel point manquant.
+polynome(4)  
 
+```
 
-## Ajout des symboles de redondance 
+Nous obtenons alors le graphique suivant:
 
-Pour trouver le symbole de rédondance à utiliser à la 5 positions du mot, il suffit de calculer polynome(5) = 102. 
-Le symbole de rédondance est donc la 102 lettres de l'alphabet.
-Mais attendez, nous avons que 26 lettres dans l'alphabet ? C'est là que vous devez savoir que ce que j'ai dit n'est pas 
-tout à fait vrai. En réalité, le polynome est recherché dans un espace de Galois ou régne l'arithmétique modulaire.
-C'est comme si vous comptier l'alphabet sur un cercle ou après la lettre Z il y a le A qui est donc la 27 ème lettre de l'alphabet.
-La 102 ème lettres de l'alphabet est donc à la position `102 % 26 = 24`, soit la lettre y.     
-Vous pouvez ajouter autant de symboles de correction d'erreur que vous le souhaitez. Pour un mot de N lettres avec 1 seul symbol de 
-correction d'erreur, vous avez besoin de connaitre N-1 symbol pour valider le code de Reed-solomon. Et si vous rajouter 3 symboles, 
-ca veux dire que vous pouvez perdre 3 symboles et les retrouver. 
 
+<div class="figure">
+<img src="images/reed_solomon/graph2.png">     
+<div class="legend">
 
-## En pratique 
-En pratique, il y a une librarie python qui fait très bien l'affaire. 
+Polynome de degré 3 passant par les 4 points. Ce polynome a été obtenu grâce à une interpolation lagrangienne.
 
+</div>
+</div>
 
 
+Il est important de comprendre que ce polynôme est unique. Il n'y a qu'un seul polynome de degré 3 qui 
+passe par ces 4 points. Si vous connaissez au minimum 3 points vous pouvez déduire le polynome de degré 4 et prédire n'importe
+quel point manquant. C'est sur ce principe que se base la correction d'erreur de Reed-solomon. Vous allez utiliser suffisament de symboles surnuméraires pour prédire le polynome et par conséquence prédire les symboles pour n'importe quelles positions.
 
 
+## Ajout du symbole de correction
 
+Pour déterminer le symbole de correction à utiliser à la cinquième position du mot, il suffit de calculer 
+**polynome(5) = 102**. Ainsi, le symbole de de correction à utilisé est la 102ème lettre de l'alphabet. Mais attendez, il n'y a que 26 lettres dans l'alphabet ! En effet, ce que je vous ai dit n'est pas tout à fait exact. En réalité, le polynôme de Lagrange est recherché dans un [espace de Galois](https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Galois) où l'arithmétique modulaire s'applique. Imaginez que l'alphabet est disposé en cercle : après la lettre Z, vous revenez à la lettre A et recommencer le comptage. Dans cette espace tous les opérateurs mathématiques sont respectés. Z + 3 = C par exemple. Ainsi, la 102ème lettre de l'alphabet est la lettre Y.    
 
 
+<div class="figure">
+<img src="images/reed_solomon/graph3.png">     
+<div class="legend">
 
-## Remerciements 
+Il suffit d'utiliser le polynome pour identifier le symbole de correction d'erreur.
+Sur les 5 points representés, seul 4 sont nécessaires pour trouver le polynôme.
 
-- Merci à @lourdes pour la découverte
+</div>
+</div>
 
+Vous pouvez ajouter autant de symboles de correction d'erreur que vous le souhaitez. Pour un mot de N lettres avec un seul symbole de correction d'erreur, vous devez connaître N-1 symboles pour valider le code de Reed-Solomon. Si vous ajoutez trois symboles, cela signifie que vous pouvez perdre jusqu'à trois symboles et les retrouver. 
 
-https://odsc.medium.com/9-open-source-tools-to-generate-synthetic-data-b642cb10dd9a
+## En pratique 
+En pratique, vous pouvez utiliser la bibliothèque Python [reedsolo](https://github.com/tomerfiliba-org/reedsolomon), disponible sur [PyPI](https://pypi.org/project/reedsolo/), pour encoder une chaine de caractères. Par exemple, pour encoder le mot *hello* en utilisant 10 symboles de correction d'erreurs :
 
-https://medium.com/@MarkAiCode/linux-ai-data-anonymization-protect-user-privacy-e60a96d2f898
+```python
+from reedsolo import RSCodec
+rsc = RSCodec(10)
+message = rsc.encode(b'hello')  
+print(message)   # bytearray(b'hello\xec\x8e')
+
+# Alteration du message 
+message[0] = 0
+message[2] = 0 
+
+# Retrouver le message original 
+correction , _, _= rsc.decode(message)
+print(correction) # bytearray(b(hello))
+```
+ 
+## Conclusion 
+Le code de correction d'erreur Reed-Solomon est remarquable pour sa capacité à corriger et à identifier des erreurs, peu importe leurs positions dans le message. Vous trouverez également d'autres codes correcteurs, tels que le [code de Hamming](https://fr.wikipedia.org/wiki/Code_de_Hamming) et le [code de Golay](https://fr.wikipedia.org/wiki/Code_de_Golay), chacun ayant ses propres avantages et inconvénients.
 
 
-Maskfile 
+## Références  
+- [ Vidéo youtube ](https://www.youtube.com/watch?v=1pQJkt7-R4Q&themeRefresh=1)
+- [infoscience](https://infoscience.epfl.ch/server/api/core/bitstreams/238e2ed1-6e61-4a8f-8454-82a08557316d/content)
+- [reedsolo](https://github.com/tomerfiliba-org/reedsolomon)