62-unique-paths.md

62. 不同路径 - medium

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

 

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

 

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

Solutions

1. 排列组合

总共需要走 (m - 1) + (n - 1) 步，看成排列组合问题，从 (m + n - 2) 中选择 min(m, n) - 1 步出来。

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        c = (m + n) - 2
        d = min(m, n) - 1

        v1, v2 = c, d
        for i in range(1, d):
            c *= v1 - i
            d *= v2 - i
        
        return (c // d) if d > 0 else 1 

2. 动态规划

用 dp[i][j] 表示到 i 行 j 列的走法。则有 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        dp = [[1] * n for _ in range(m)]

        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
        
        return dp[-1][-1]