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Adadelta

🏷️sec_adadelta

Adadelta是AdaGrad的另一种变体（ :numref:sec_adagrad）， 主要区别在于前者减少了学习率适应坐标的数量。 此外，广义上Adadelta被称为没有学习率，因为它使用变化量本身作为未来变化的校准。 Adadelta算法是在 :cite:Zeiler.2012中提出的。

Adadelta算法

简而言之，Adadelta使用两个状态变量，$\mathbf{s}_t$用于存储梯度二阶导数的泄露平均值，$\Delta\mathbf{x}_t$用于存储模型本身中参数变化二阶导数的泄露平均值。请注意，为了与其他出版物和实现的兼容性，我们使用作者的原始符号和命名（没有其它真正理由让大家使用不同的希腊变量来表示在动量法、AdaGrad、RMSProp和Adadelta中用于相同用途的参数）。

以下是Adadelta的技术细节。鉴于参数du jour是$\rho$，我们获得了与 :numref:sec_rmsprop类似的以下泄漏更新：

$$\begin{aligned} \mathbf{s}t & = \rho \mathbf{s}{t-1} + (1 - \rho) \mathbf{g}_t^2. \end{aligned}$$

与 :numref:sec_rmsprop的区别在于，我们使用重新缩放的梯度$\mathbf{g}_t'$执行更新，即

$$\begin{aligned} \mathbf{x}t & = \mathbf{x}{t-1} - \mathbf{g}_t'. \ \end{aligned}$$

那么，调整后的梯度$\mathbf{g}_t'$是什么？我们可以按如下方式计算它：

$$\begin{aligned} \mathbf{g}t' & = \frac{\sqrt{\Delta\mathbf{x}{t-1} + \epsilon}}{\sqrt{{\mathbf{s}_t + \epsilon}}} \odot \mathbf{g}_t, \ \end{aligned}$$

其中$\Delta \mathbf{x}_{t-1}$是重新缩放梯度的平方$\mathbf{g}t'$的泄漏平均值。我们将$\Delta \mathbf{x}{0}$初始化为$0$，然后在每个步骤中使用$\mathbf{g}_t'$更新它，即

$$\begin{aligned} \Delta \mathbf{x}t & = \rho \Delta\mathbf{x}{t-1} + (1 - \rho) {\mathbf{g}_t'}^2, \end{aligned}$$

和$\epsilon$（例如$10^{-5}$这样的小值）是为了保持数字稳定性而加入的。

代码实现

Adadelta需要为每个变量维护两个状态变量，即$\mathbf{s}_t$和$\Delta\mathbf{x}_t$。这将产生以下实现。

%matplotlib inline
from d2l import mxnet as d2l
from mxnet import np, npx
npx.set_np()

def init_adadelta_states(feature_dim):
    s_w, s_b = d2l.zeros((feature_dim, 1)), d2l.zeros(1)
    delta_w, delta_b = d2l.zeros((feature_dim, 1)), d2l.zeros(1)
    return ((s_w, delta_w), (s_b, delta_b))

def adadelta(params, states, hyperparams):
    rho, eps = hyperparams['rho'], 1e-5
    for p, (s, delta) in zip(params, states):
        # In-placeupdatesvia[:]
        s[:] = rho * s + (1 - rho) * np.square(p.grad)
        g = (np.sqrt(delta + eps) / np.sqrt(s + eps)) * p.grad
        p[:] -= g
        delta[:] = rho * delta + (1 - rho) * g * g

#@tab pytorch
%matplotlib inline
from d2l import torch as d2l
import torch

def init_adadelta_states(feature_dim):
    s_w, s_b = d2l.zeros((feature_dim, 1)), d2l.zeros(1)
    delta_w, delta_b = d2l.zeros((feature_dim, 1)), d2l.zeros(1)
    return ((s_w, delta_w), (s_b, delta_b))

def adadelta(params, states, hyperparams):
    rho, eps = hyperparams['rho'], 1e-5
    for p, (s, delta) in zip(params, states):
        with torch.no_grad():
            # In-placeupdatesvia[:]
            s[:] = rho * s + (1 - rho) * torch.square(p.grad)
            g = (torch.sqrt(delta + eps) / torch.sqrt(s + eps)) * p.grad
            p[:] -= g
            delta[:] = rho * delta + (1 - rho) * g * g
        p.grad.data.zero_()

#@tab tensorflow
%matplotlib inline
from d2l import tensorflow as d2l
import tensorflow as tf

def init_adadelta_states(feature_dim):
    s_w = tf.Variable(d2l.zeros((feature_dim, 1)))
    s_b = tf.Variable(d2l.zeros(1))
    delta_w = tf.Variable(d2l.zeros((feature_dim, 1)))
    delta_b = tf.Variable(d2l.zeros(1))
    return ((s_w, delta_w), (s_b, delta_b))

def adadelta(params, grads, states, hyperparams):
    rho, eps = hyperparams['rho'], 1e-5
    for p, (s, delta), grad in zip(params, states, grads):
        s[:].assign(rho * s + (1 - rho) * tf.math.square(grad))
        g = (tf.math.sqrt(delta + eps) / tf.math.sqrt(s + eps)) * grad
        p[:].assign(p - g)
        delta[:].assign(rho * delta + (1 - rho) * g * g)

对于每次参数更新，选择$\rho = 0.9$相当于10个半衰期。由此我们得到：

#@tab all
data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(adadelta, init_adadelta_states(feature_dim),
               {'rho': 0.9}, data_iter, feature_dim);

为了简洁实现，我们只需使用Trainer类中的adadelta算法。

d2l.train_concise_ch11('adadelta', {'rho': 0.9}, data_iter)

#@tab pytorch
trainer = torch.optim.Adadelta
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'rho': 0.9}, data_iter)

#@tab tensorflow
# adadeltaisnotconvergingatdefaultlearningrate
# butit'sconvergingatlr=5.0
trainer = tf.keras.optimizers.Adadelta
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'learning_rate':5.0, 'rho': 0.9}, data_iter)

小结

• Adadelta没有学习率参数。相反，它使用参数本身的变化率来调整学习率。
• Adadelta需要两个状态变量来存储梯度的二阶导数和参数的变化。
• Adadelta使用泄漏的平均值来保持对适当统计数据的运行估计。

练习

1. 调整$\rho$的值，会发生什么？
2. 展示如何在不使用$\mathbf{g}_t'$的情况下实现算法。为什么这是个好主意？
3. Adadelta真的是学习率为0吗？能找到Adadelta无法解决的优化问题吗？
4. 将Adadelta的收敛行为与AdaGrad和RMSProp进行比较。

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:begin_tab:pytorch Discussions :end_tab:

:begin_tab:tensorflow Discussions :end_tab: