Init commit

Author: ondryaso

1. semestr/IDM/Domácí úkol/diagram.png

@@ -0,0 +1,167 @@
+\documentclass[12pt,a4paper]{article}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[czech]{babel}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
+\usepackage{mathtools}
+%\usepackage{cancel}
+\usepackage{newtxtext,newtxmath}
+\author{Ondřej Ondryáš\\František Nečas\\David Chocholatý\\David Mihola\\Lukáš Foltyn}
+\title{IDM – Domácí úloha}
+
+\newcommand{\pageline}{\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\linewidth}{0.4pt}}\vspace{5pt}}
+\setlength{\parskip}{0.75em}
+
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\setlength\abovedisplayshortskip{10pt}
+\setlength\abovedisplayskip{10pt}
+\setlength\belowdisplayshortskip{10pt}
+\setlength\belowdisplayskip{10pt}
+
+\section*{Příklad 1}
+
+Dokažte, že pro každé přirozené číslo \(n \geq 2\) platí:
+\[
+	\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n + 1}}
+\]
+\pageline
+
+V prvním kroku matematické indukce ukážeme, že nerovnost platí pro nejmenší možné přirozené číslo odpovídající zadání:
+\begin{gather*}
+	L(2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8} = \frac{15}{40} \\
+    P(2) = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{8\sqrt{5}}{40} \\
+    \sqrt{5} > \sqrt{4} \Rightarrow \frac{8\sqrt{5}}{40} > \frac{8\sqrt{4}}{40} \iff \frac{8\sqrt{5}}{40} > \frac{16}{40} \Rightarrow \frac{8\sqrt{5}}{40} > \frac{15}{40} \\
+	L(2) < P(2)
+\end{gather*}
+
+Jestliže pro každé $k \geq 2, k \in \mathbb{N}$ platí:
+\[
+    V(k): \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{2k-1}{2k} < \frac{1}{\sqrt{2k + 1}},
+\]
+pak potřebujeme dokázat, že nerovnost platí i pro $n=k+1$, tedy že platí:
+\[
+    V(k+1): \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2k+1}{2k+2} < \frac{1}{\sqrt{2k + 3}}.
+\]
+
+Dle indukčního předpokladu platí:
+\[
+    \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{2k-1}{2k} \cdot \frac{2k+1}{2k+2} < \frac{1}{\sqrt{2k + 1}} \cdot \frac{2k+1}{2k + 2},
+\]
+stačí tedy ukázat, že platí:
+\[
+    \frac{1}{\sqrt{2k+1}} \cdot \frac{2k+1}{2k+2} < \frac{1}{\sqrt{2k+3}}.
+\]
+Nerovnici můžeme dále upravovat, protože $k \geq 2 \Rightarrow 2k + 2 > 0$:
+\begin{gather*}
+    \frac{\sqrt{2k+1}}{2k+2} < \frac{1}{\sqrt{2k+3}} \\
+    \sqrt{2k+1} \cdot \sqrt{2k+3} < 2k+2, \\
+    4k^2 + 8k + 3 < 4k^2 + 8k + 4, \\
+    3 < 4.
+\end{gather*}
+Tím je dokázáno, že zadaná nerovnice platí i pro $n = k + 1$. $\blacksquare$
+
+\newpage
+
+\section*{Příklad 2}
+
+Na množině přirozených čísel je dána relace následovně:
+\begin{equation*}
+    a \sim b \iff a \cdot b \text{ je druhou mocninou přirozeného čísla}.
+\end{equation*}
+Zjistěte, zda $\sim$ je ekvivalence nebo uspořádání (případně ani jedno) na množině $\mathbb{N}$.
+
+\pageline
+
+Relace ekvivalence je binární relace na množině, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní.
+\[
+    \forall a \in \mathbb{N}: a \cdot a = a^2 \Rightarrow \forall a \in \mathbb{N}: a \sim a.
+\]
+Relace je reflexivní.
+
+Protože násobení je komutativní operace, platí, že:
+\[
+    \text{Nechť } a \sim b \Rightarrow a \cdot b = n^2 \Rightarrow b \cdot a = n^2 \Rightarrow b \sim a.
+\]
+Relace je symetrická.
+\begin{multline*}
+\text{Nechť } a \sim b \land b \sim c \Rightarrow \exists n,m \in \mathbb{N}: a \cdot b = n^2 \land b \cdot c = m^2 \Rightarrow a \cdot b^2 \cdot c = n^2 \cdot m^2\\ \Rightarrow a \cdot c = \frac{n^2 \cdot m^2}{b^2} \Rightarrow a \cdot c = \left(\frac{n \cdot m}{b}\right)^2.
+\end{multline*}
+%Nyní musíme dokázat, že
+%\[
+%	a,b,c,n,m \in \mathbb{N} \land a \cdot b = n^2 \land b \cdot c = m^2 \Rightarrow %\frac{n\cdot m}{b} \in \mathbb{N} 
+%\]
+%Využijeme k tomu důkaz sporem:
+%\begin{gather*}
+%a
+%\end{gather*}
+Relace je tranzitivní.
+
+Relace by byla uspořádáním, kdyby platilo, že je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní. Reflexivitu a tranzitivitu jsme již dokázali.
+
+Aby byla relace antisymetrická, muselo by platit:
+\[
+   \forall a,b \in \mathbb{N}: a \sim b \land b \sim a \Rightarrow a = b.
+\]
+To ovšem neplatí, neboť druhá mocnina přirozeného čísla může vzniknout vynásobením dvou různých čísel:
+\[
+   \text{Nechť } a = 1, b = 4 \Rightarrow a \neq b \land a \cdot b = b \cdot a = 1 \cdot 4 = 4 \cdot 1 = 2^2 \Rightarrow a \sim b \land b \sim a \land a \neq b.
+\]
+
+Relace je reflexivní, symetrická a tranzitivní, jedná se tak o relaci ekvivalence. Protože relace není antisymetrická, není uspořádáním.
+
+\newpage
+
+\section*{Příklad 3}
+Najděte všechna $x \in \mathbb{R},$ pro která mají intervaly \(\left\langle 3, \frac{x^2-x}{2} \right\rangle, \left\langle x+2, \infty \right\rangle \) alespoň dva společné body.
+\pageline
+
+Pro řešení z definice intervalu vyplývá, že:
+\begin{gather*}
+\frac{x^2-x}{2}>3 \Rightarrow x^2-x-6>0 \Rightarrow (x-3)(x+2)>0 \\
+x \in \left(-\infty , -2\right) \cup \left(3, \infty \right)
+\end{gather*}
+
+Aby měly tyto intervaly neprázdný průnik, musí platit:
+\begin{align*}
+\frac{x^2-x}{2}&>x+2 \\
+x^2-x&>2x+4 \\
+x^2-3x-4&>0 \\
+(x+1)(x-4)&>0 \\
+x \in \left(-\infty , 1\right) &\cup \left(4, \infty \right)
+\end{align*}
+Nerovnost je v tomto případě ostrá, protože intervaly mají mít dva společné body. Kdyby se horní mez prvního a spodní mez druhého intervalu rovnaly, intervaly by měly pouze jeden společný bod.
+
+Intervaly tak mají dva společné body, pokud:
+\[
+x \in \left(-\infty , -2\right) \cup \left(3, \infty \right) \land x \in \left(-\infty , 1\right) \cup \left(4, \infty \right) \Rightarrow x \in \left(-\infty , -2\right) \cup \left(4, \infty \right).
+\]
+
+\newpage
+\section*{Příklad 4}
+Rozhodněte o pravdivosti následujícího výroku:
+\textit{Nechť $T$ je tranzitivní relace na množině $M$, potom také relace $\overline{T}$ je
+tranzitivní na množině M.}
+
+\pageline
+
+Nechť \(M=\{0,1,2,3\},\ T=\{(0,1), (1,2), (0,2)\}\). Potom \(\overline{T}\supseteq \{(0,3),(3,2)\}\), ale \((0,2)\notin \overline{T}\), protože \((0,2)\in T\). Výrok je nepravdivý.
+
+\begin{figure}[h]
+ \centering
+ \includegraphics[width=10cm]{diagram.png}
+ \caption{Znázornění nepravdivosti výroku tranzitivity grafem. V tomto příkladu byla zvolena \(M=\{0,1,2\}\). Černými šipkami je znázorněna relace $T$, zelenými šipkami je znázorněna relace \(\overline{T}\). Červenou šipkou je znázorněn vztah, který chybí v relaci \(\overline{T}\), aby byla tranzitivní.}
+\end{figure}
+
+\section*{Příklad 5}
+Je dána množina obsahující deset přirozených čísel mezi 1 a 99, včetně. Dokažte, že existují dvě disjunktní neprázdné podmnožiny této množiny se stejným součtem svých prvků.
+
+\pageline
+
+Protože je daná množina $M$ desetiprvková, existuje $|P(M)| = 2^{10}-1 = 1023$ neprázdných podmnožin, a tedy možných součtů, které mohou vzniknout jako součet prvků libovolné podmnožiny množiny $M$.
+
+Protože je čísel 99, nejvyšší součet, který může vzniknout, je $99+98+\cdots+90=945$. Je zřejmé, že počet existujících neprázdných podmnožin je vyšší než počet součtů, které mohou vzniknout sečtením jednoho až deseti přirozených čísel mezi 1 a 99. Podle Dirichletova principu tak aspoň dvě tyto podmnožiny budou náležet jednomu součtu, čili budou existovat dvě neprázdné podmnožiny se stejným součtem svých prvků. Pokud by takto nalezené podmnožiny nebyly disjunktní, můžeme vytvořit jejich podmnožiny, které nebudou obsahovat jejich průnik. Tyto nové podmnožiny budou disjunktními podmnožinami původní množiny a jejich součet bude stále stejný.
+\end{document}

1. semestr/IDM/Domácí úkol/du.pdf

@@ -0,0 +1,16 @@
+# Diskrétní matematika
+### Ak. rok 2019/2020. [Karta předmětu](https://www.fit.vut.cz/study/course/13295/.cs).
+
+## Domácí úkol
+Hodnocení: 9/10
+
+Zadání jednotlivých příkladů je uvedeno v dokumentu. Bod jsme ztratili v příkladu 2, protože jsme nepřišli na rozumný způsob, jak dokázat, že `(n·m)/b` je přirozené číslo.
+
+### Copyright notice
+Práci vypracovali a držiteli autorských práv jsou Ondřej Ondryáš, František Nečas, David Chocholatý, David Mihola a Lukáš Foltyn. Práci je možno použít pod licencí CC BY-SA 4.0.
+
+## Materiály ke zkoušce
+PDF obsahuje:
+- 1–2: tahák ke zkoušce
+- 3: tahák ke druhé písemce
+- 4–5: nějaké poznámky k výrokové a predikátové logice

1. semestr/IDM/Domácí úkol/du.tex

@@ -0,0 +1,36 @@
+%%%%% Projekt z předmětu IEL %%%% 
+%% Autor: Ondřej Ondryáš
+
+\documentclass[]{fitiel} % dokumenty v češtině, implicitní
+
+% implicitní cesta k obrázkům
+\graphicspath{{fig/}}
+
+% hlavička 
+% příkaz logo - vkládá logo fakulty dle zvoleného jazyka
+\title{\logo\vspace{1cm}\\IEL -- protokol k projektu}
+\author{Ondřej Ondryáš \\ xondry02}
+\date{\today} % today - dnešní datum
+
+%\usepackage{tikz}
+\usepackage{xcolor}
+\usepackage{float}
+
+\begin{document}
+	\maketitle
+	
+	\tableofcontents
+	
+	\newpage
+
+	%% vložení jednotlivých příkladů
+	\input{01-pr1.tex} \newpage
+	\input{02-pr2.tex} \newpage
+	\input{03-pr3.tex} \newpage
+	\input{04-pr4.tex} \newpage
+	\input{05-pr5.tex} \newpage
+	
+	%% vložení tabulky s přehledem výsledků
+	\input{06-tab.tex}
+	
+\end{document}

1. semestr/IDM/README.md

@@ -0,0 +1,88 @@
+\section{Příklad 1}
+% Jako parametr zadejte skupinu (A-H)
+\prvniZadani{C}
+
+Metoda zjednodušování spočívá v nahrazování odporových sítí uvnitř obvodu \textit{ekvivalentními odpory}, které se z hlediska zbytku obvodu chovají stejně -- mají stejný odpor. Postupným zjednodušováním se tak dostaneme do stavu, kdy jsou všechny odpory v obvodu reprezentovány jedním ekvivalentním odporem $R_{ekv}$. Pomocí něj vypočítáme celkový proud v obvodu, na základě kterého pak zpětně dopočítáváme napětí a proudy na jednotlivých prvcích.
+
+V zadaném obvodu můžeme ihned zjednodušit rezistory $R_{7}$ a $R_{8}$ na ekvivalentní odpor $R_{78}$, jehož hodnotu vypočítáme pomocí vztahu o odporu v paralelním zapojení:
+\begin{equation} \label{eq:parallel}
+    R_{78} = \frac{R_{7} R_{8}}{R_{7}+R_{8}}
+\end{equation}
+Podobně můžeme ihned zjednodušit také rezistory $R_{4}$ a $R_{5}$, které jsou zapojené v sérii, proto:
+\[
+    R_{45} = R_{4} + R_{5}
+\]
+Zdroje napětí $U_1$ a $U_2$ jsou zapojeny v sérii přímo za sebou, proto je můžeme zjednodušit na jeden zdroj o napětí
+\[
+    U_{12} = U_1 + U_2
+\]
+Výsledný obvod můžeme znázornit:
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=7cm]{diagrams/Diagram1.png}
+    \caption{Obvod se zjednodušenými $R_4,R_5,R_7,R_8,U_1,U_2$.}
+    \label{fig:circ-1-1}
+\end{figure}
+
+Ve vzniklém obvodu tvoří soustava rezistorů $R_1$, $R_2$ a $R_3$ trojúhelník, který pro zjednodušení výpočtů převedeme na hvězdu (obdobně by se dalo počítat také s rezistory $R_3$, $R_{45}$ a $R_6$). Hvězdu budou tvořit tři rezistory $R_A$, $R_B$, $R_C$, jejichž hodnoty budou nastaveny tak, aby odpor mezi uzly \textcolor{red}{A}, \textcolor{red}{B} a \textcolor{red}{C}, ve kterých je hvězda připojena do obvodu, odpovídal odporu mezi těmito uzly v původním obvodu. Obvod s hvězdou znázorňuje obr. \ref{fig:circ-1-2}. Pro vzniklé rezistory platí vztahy:
+\begin{equation} \label{eq:star}
+R_A = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2+R_3},\,
+R_B = \frac{R_1 R_3}{R_1+R_2+R_3},\,
+R_C = \frac{R_2 R_3}{R_1+R_2+R_3}
+\end{equation}
+\begin{figure}[ht]
+    \centering
+    \includegraphics[width=7cm]{diagrams/Diagram2.png}
+    \caption{Obvod s trojúhelníkem rezistorů převedeným na hvězdu. Odpor mezi uzly A, B, C vyznačenými červenou barvou odpovídá odporu mezi těmito uzly ve schématu na obrázku \ref{fig:circ-1-1}.}
+    \label{fig:circ-1-2}
+\end{figure}
+
+Obdobnými kroky zjednodušíme část obvodu mezi uzly \textcolor{blue}{X} a \textcolor{blue}{Y}. Rezistory zapojené v sérii $R_B$ a $R_{45}$ můžeme nahradit rezistorem $R_{B45}$ s odporem $R_{B45} = R_B + R_{45}$, podobně pak zjednodušíme $R_C$ a $R_6$, jak ukazuje levá část obrázku \ref{fig:circ-1-3}. Mezi uzly \textcolor{blue}{X} a \textcolor{blue}{Y} jsou nyní dva rezistory zapojené paralelně, které můžeme zjednodušit na odpor $R_W$ pomocí vztahu ekvivalentního s \eqref{eq:parallel}:
+\begin{equation}
+    \label{eq:rw}
+    \begin{gathered}
+        \frac{1}{R_W} = \frac{1}{R_{B45}} + \frac{1}{R_{C6}} = \frac{1}{R_B+R_{45}} + \frac{1}{R_C+R_6} \\
+        R_W = \frac{(R_B+R_{45})(R_C+R_6)}{R_B+R_{45}+R_C+R_6} = \frac{(R_B+R_4+R_5)(R_C+R_6)}{R_B+R_C+R_4+R_5+R_6}
+    \end{gathered}
+\end{equation} 
+
+\begin{figure}[ht]
+    \centering
+    \includegraphics[width=14cm]{diagrams/Diagram3.png}
+    \caption{Další kroky zjednodušování.}
+    \label{fig:circ-1-3}
+\end{figure}
+
+Nyní v obvodu zůstaly pouze tři odpory v sérii, celkový ekvivalentní odpor $R_{ekv}$ je tak jejich součtem:
+\[
+    R_{ekv} = R_A + R_W + R_{78} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2 + R_3} + \frac{(R_B+R_4+R_5)(R_C+R_6)}{R_B+R_C+R_4+R_5+R_6} + \frac{R_{7} R_{8}}{R_{7}+R_{8}}
+\]
+
+Aby nebyl výsledný výraz příliš komplikovaný, pomocné odpory $R_B$, $R_C$ a $R_W$ si nyní podle vztahů \eqref{eq:star} a \eqref{eq:rw} spočítáme:
+\begin{gather*}
+    R_B = \frac{450\cdot 190}{450+810+190} = \frac{1710}{29}\ \Omega \approx \SI{58.9655}{\ohm}\\
+    R_C = \frac{810\cdot 190}{450+810+190} = \frac{3078}{29}\ \Omega \approx \SI{106.1379}{\ohm}\\
+    R_W = \frac{(\frac{1710}{29} + 220 + 220)(\frac{3078}{29} + 720)}{\frac{1710}{29} + \frac{3078}{29} + 220 + 220 + 720} = \frac{\num{86668065}}{\num{278603}}\ \Omega \approx \SI{311.08087}{\ohm}
+\end{gather*}
+Dosadíme do zjištěného vztahu:
+\begin{gather*}
+    R_{ekv} = \frac{450\cdot 810}{450+810+190} + \frac{\num{86668065}}{\num{278603}} + \frac{260\cdot 180}{260+180} \\
+    \\
+    \mathbf{R_{ekv} \approx \SI{668.8238}{\ohm}}
+\end{gather*}
+
+S pomocí zjištěného ekvivalentního odporu celé odporové sítě $R_{ekv}$ a ekvivalentního napětí v obvodu $U_{12}$ můžeme použitím Ohmova zákona spočítat celkový proud v obvodu:
+\[
+    I = \frac{U_{12}}{R_{ekv}} = \frac{180}{\num{668.8238}} \approx \SI{0.26913}{A}
+\]
+
+Nyní opět pomocí Ohmova zákona a základních znalostí o chování proudu a napětí při větvení obvodu zpětně spočítáme napětí a proud na zjednodušených ekvivalentních odporech a poté uvnitř částí obvodu, které byly zjednodušeny. Hledanými hodnotami jsou napětí a proud na rezistoru $R_5$. $R_5$ je v počátku součástí náhradního odporu $R_W$. Napětí na tomto odporu (mezi uzly \textcolor{blue}{X} a \textcolor{blue}{Y}) je stejné jako napětí na $R_{B45}$, protože $R_W$ odpovídá dvěma paralelně zapojeným rezistorům, v tomto případě se napětí nedělí. Podle tohoto napětí spočítáme proud procházející náhradním odporem $R_{B45}$, a tedy i hledaný $R_5$, protože $R_{B45}$ odpovídá odporům zapojeným v sérii, kdy se proud nedělí. Podle proudu $I_{R_5}$ pak v závěru spočítáme napětí $U_{R_5}$.
+
+\begin{gather*}
+    U_{R_{B45}} = U_{R_W} = IR_W = \frac{U_{12}}{R_{ekv}} \cdot R_W \\
+    I_{R_5} = I_{R_{B45}} = \frac{U_{R_{B45}}}{R_{B45}} = \frac{U_{R_{B45}}}{R_B + R_{45}} = \frac{U_{12} R_W}{R_{ekv}(R_B+R_4+R_5)} = \frac{180\cdot \num{311.08087}}{\num{668.8238}\cdot (\num{58.9655}+220+220)} \\
+    \mathbf{I_{R_5} \approx \SI{0.167789}{\ampere}} \\
+    \\
+    U_{R_5} = I_{R_5} R_5 \approx \num{0.167789}\cdot 220 \\
+    \mathbf{U_{R_5} \approx \SI{36.91358}{\volt}}
+\end{gather*}

1. semestr/IDM/Tahák ke zkoušce/IDM.pdf

@@ -0,0 +1,69 @@
+\section{Příklad 2}
+% Jako parametr zadejte skupinu (A-H)
+\druhyZadani{E}
+
+Principem Théveninova teorému je, že složitý obvod nahradíme obvodem náhradního skutečného zdroje napětí (tedy ideálním zdrojem napětí a odporem představujícím jeho vnitřní odpor), ke kterému je připojena zátěž. Poté je triviální spočítat napětí na této zátěži a proud jí procházející.
+
+V tomto případě je zátěží rezistor $R_6$. Cílem postupu je získat náhradní napětí $U_x$ a náhradní odpor $R_x$ podle obrázku \ref{fig:circ-2-1}. Překreslíme obvod bez zátěže:
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=7cm]{diagrams/Diagram5.png}
+    \caption{Obvod bez zátěže, která je nahrazena svorkami \textcolor{blue}{A}, \textcolor{blue}{B}.}
+    \label{fig:circ-2-1}
+\end{figure}
+
+Náhradní odpor $R_x$ vypočítáme tak, že jediný napěťový zdroj původního obvodu nahradíme zkratem a spočítáme odpor mezi svorkami \textcolor{blue}{A} a \textcolor{blue}{B}. Na obrázku \ref{fig:circ-2-2} je zakreslen stav po nahrazení zdroje, na obrázku \ref{fig:circ-2-3} je pak vzniklá odporová síť překreslena, aby bylo zřejmé, jakým způsobem je možné její celkový odpor vypočítat.
+\begin{figure}[htb]
+    \centering
+    \includegraphics[width=7cm]{diagrams/Diagram6.png}
+    \caption{Obvod po nahrazení napěťového zdroje zkratem.}
+    \label{fig:circ-2-2}
+\end{figure}
+\begin{figure}[htb]
+    \centering
+    \includegraphics[height=7cm]{diagrams/Diagram7.png}
+    \caption{Překreslený obvod z obrázku \ref{fig:circ-2-2}.}
+    \label{fig:circ-2-3}
+\end{figure}
+
+Odpor mezi svorkami vypočítáme postupným zjednodušováním sítě:
+\begin{gather*}
+    \frac{1}{R_x} = \frac{1}{R_5} + \frac{1}{R_{1234}} = \frac{1}{R_5} + \frac{1}{\displaystyle R_4 + \frac{R_{12} R_3}{R_{12} + R_3}} = \frac{1}{R_5} + \frac{1}{\displaystyle R_4 + \frac{(R_1+R_2)R_3}{R_1 + R_2 + R_3}} \\
+    R_x = \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{600} + \frac{1}{245 + \frac{(150+335)\cdot 625}{150 + 335 + 625}}} \\
+    \\
+    \mathbf{R_x \approx \SI{278.0211}{\ohm}}
+\end{gather*}
+
+Napětí náhradního zdroje $U_x$ spočítáme jako napětí mezi svorkami \textcolor{blue}{A}, \textcolor{blue}{B} v~obvodu bez zátěže, jde o~tzv.~\textit{napětí naprázdno}. Z obrázku \ref{fig:circ-2-1} je zřejmé, že napětí mezi svorkami se bude rovnat napětí na rezistoru $R_5$. (Z logiky věci, při pohledu na zadání je vidět, že $R_5$ a $R_6$ jsou dva paralelně spojené rezistory, na kterých se dělí proud, ale napětí je stejné.) Spočítáme $U_{R_5}\ (=U_x)$ opět metodou zjednodušování. Popisované veličiny jsou naznačeny v obrázku \ref{fig:circ-2-4}.
+\begin{figure}[htb]
+    \centering
+    \includegraphics[height=10cm]{diagrams/Diagram8.png}
+    \caption{Hledané proudy a napětí pro zjištění napětí naprázdno.}
+    \label{fig:circ-2-4}
+\end{figure}
+\begin{gather*}
+    I_a = \frac{U}{R_{ekv}} \\
+    R_{ekv} = R_1 + R_2 + \frac{R_3(R_4+R_5)}{R_3+R_4+R_5} \\
+    U_a = U - I_a(R_1 + R_2) \\
+    U_{R_5} = I_{R_{45}} R_5 = \frac{U_a}{R_{45}} R_5 = U_a \frac{R_5}{R_4+R_5} = \left[U - \frac{U}{R_{ekv}}(R_1+R_2)\right]\frac{R_5}{R_4+R_5} \\
+    U_{R_5} = U \frac{R_3 R_5}{(R_1+R_2)(R_3+R_4+R_5)+R_3(R_4+R_5)} \\
+    \\
+    \mathbf{U_x = U_{R_5} \approx \SI{75.5394}{\volt}}
+\end{gather*}
+
+Zjistili jsme, že náhradní skutečný zdroj bude mít napětí $U_x=\SI{75.5394}{\volt}$ a vnitřní odpor $R_x=\SI{278.0211}{\ohm}$. Pro původní obvod tak můžeme vytvořit ekvivalentní obvod, jaký je uveden na obrázku \ref{fig:circ-2-5}. Snadno pak spočítáme napětí $U_{R_6}$ na zátěži a proud $I_{R_6}$ jí procházející.
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=4.5cm]{diagrams/Diagram9.png}
+    \caption{Ekvivalentní obvod.}
+    \label{fig:circ-2-5}
+\end{figure}
+\begin{gather*}
+    I_{R_6} = \frac{U_x}{R_x+R_6} \\
+    I_{R_6} = \frac{\num{75.5394}}{\num{278.0211}+150} \\
+    \mathbf{I_{R_6} \approx \SI{0.176485}{\ampere} = \SI{176.485}{\milli\ampere}} \\
+    \\
+    U_{R_6} = I_{R_6} R_6 \\
+    U_{R_6} = \frac{\num{75.5394}\cdot 150}{\num{278.0211}+150} \\
+    \mathbf{U_{R_6} \approx \SI{26.4728}{\volt}}
+\end{gather*}