Update README.md

Author: voorhs

README.md

@@ -15,9 +15,9 @@
 ## Быстрые запросы к матрице расстояний в $\ell_2^2$ метрике
 k-ая координата для query $Ay$, где A - матрица расстояний, может быть найдена следующим образом:
 
-$$
+```math
 (Ay)_k = \sum_{j=1}^ny_j\|x_k-x_j\|_2^2 = ||x_k||_2^2 \sum_{j=1}^ny_j + \sum_{j=1}^ny_j||x_j||_2^2 - 2\langle x_k, \sum_{j=1}^ny_jx_j  \rangle
-$$
+```
 
 ## Составим простой query-алгоритм 
 1) $v =  \sum_{i=1}^ny_ix_i$
@@ -38,25 +38,25 @@ $$
 ## Быстрые запросы к матрице расстояний в $\ell_1$ метрике
 $k$-ая координата для query $Ay$, где A - матрица расстояний, может быть найдена следующим образом:
 
-$$
+```math
 (Ay)_k = \sum_{j=1}^ny_j\|x_k-x_j\|=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^dy_j|x_{k,i}-x_{j,i}|=\sum_{i=1}^d\sum_{j=1}^ny_j|x_{k,i}-x_{j,i}|
-$$
+```
 
 Для каждого признака $i = \overline{1, d}$ введем перестановку $\pi ^ i$, которая соответствует отсортированному в порядке возрастания массиву значений $x_{j,i}$ (по столбцам). Тогда: 
 
-$$
+```math
 (Ay)_k = \sum_{i=1}^d\sum_{j=1}^ny_j|x_{k,i}-x_{j,i}| = \sum_{i=1}^d\Bigg(\sum_{j \ : \ \pi^i(k) \leqslant \pi^i(j)} y_j(x_{j,i}-x_{k,i})  \quad + \sum_{j \ : \ \pi^i(k) \gt\pi^i(j)} y_j(x_{k,i}-x_{j,i}) \Bigg)
-$$
+```
 
 Перегруппируем значения в скобках:
 
-$$
+```math
 (Ay)_k = \sum_{i=1}^d\Bigg(x_{k,i}\bigg(\sum_{j \ : \ \pi^i(k) \gt\pi^i(j)}y_j \quad- \sum_{j \ : \ \pi^i(k) \leqslant \pi^i(j)} y_j\bigg)\quad + \sum_{j \ : \ \pi^i(k) \leqslant \pi^i(j)}y_jx_{j,i} \quad- \sum_{j \ : \ \pi^i(k) \gt\pi^i(j)} y_jx_{j,i} \Bigg)
-$$
+```
 
-$$
+```math
 (Ay)_k = \sum_{i=1}^d \bigg(x_{k,i}(S_3 - S_4) + S_2 - S_1 \bigg)
-$$
+```
 
 ## Сложность алгоритма
 
@@ -90,21 +90,21 @@ Randomized Block Krylov Method [MM15]:
 
 **Теорема (10, 11, 12 из [MM15]).** С вероятностью $0.99$ алгоритм BKSVD возвращает $k$-ранговую аппроксимацию $\widehat{A_k}=\widehat{U}_k\widehat{\Sigma}_k\widehat{V}_k$ такую, что
 
-$$
+```math
 \begin{align}
 \|A-\widehat{A}_k\|_2&\leq (1+\epsilon)\|A-A_k\|_2\\
 \|A-\widehat{A}_k\|_F&\leq (1+\epsilon)\|A-A_k\|_F\\
 |\sigma_i-\widehat{\sigma}_i|&\leq\epsilon\cdot\sigma_{k+1}^2
 \end{align}
-$$
+```
 
 Для этого требуется $q=\Theta\left(k/\sqrt{\epsilon}\right)$ запросов к матрице $A$.
 
 **Теорема (1.3 из [BCW22]).** Для $\epsilon>0$ и константы $p\ge1$ найдётся распределение $\mathcal{D}$ матриц $n\times n$ таких, что для $A\sim\mathcal{D}$ любой алгоритм, который хотя с константной вероятностью возвращает вектор $v:$
 
-$$
+```math
 \|A-Avv^T\|^p_{S_p}\leq(1+\epsilon)\min_{\|u\|_1=1}\|A-Auu^T\|^p_{S_p},
-$$
+```
 
 требует $\Omega(1/\epsilon^{1/3})$ запросов к матрице $A$.