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[Inventory_dynamics] Update Translation #24

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[Inventory_dynamics] Update Translation #24

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6361955
[inventory dynamics] Update Translation
SW36 Apr 24, 2025
76d62b1
[inventory_dynamics]Update Translation
SW36 Apr 24, 2025
4f9e75b
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HumphreyYang Apr 24, 2025
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HumphreyYang Apr 28, 2025
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101 changes: 49 additions & 52 deletions lectures/inventory_dynamics.md
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Original file line number Diff line number Diff line change
Expand Up @@ -3,8 +3,10 @@ jupytext:
text_representation:
extension: .md
format_name: myst
format_version: 0.13
jupytext_version: 1.16.7
kernelspec:
display_name: Python 3
display_name: Python 3 (ipykernel)
language: python
name: python3
---
Expand All @@ -19,31 +21,28 @@ kernelspec:

# 库存动态

```{index} single: 马尔可夫过程, 库存
```

```{contents} 目录
:depth: 2
```

## 概述

在本讲座中，我们将研究遵循所谓s-S库存动态的企业的库存时间路径。
在本讲座中，我们将研究企业的库存时间路径，其遵循所谓的s-S库存动态。

这些企业
这些企业遵循以下补货规则：

1. 等待直到库存降至某个水平$s$以下，然后
1. 订购足够数量以将库存补充到容量$S$。
1. 当库存水平下降至某个临界值$s$以下时，
2. 企业会订购足够数量的产品，将库存补充到目标水平$S$。

这类政策在实践中很常见，并且在某些情况下也是最优的。
这种管理库存的方式在实践中很常见，并且在某些情况下也是最优的。

早期文献综述和一些宏观经济含义可以在{cite}`caplin1985variability`中找到。
早期文献和其对宏观经济的影响可以在{cite}`caplin1985variability`中找到。

我们的主要目标是学习更多关于模拟、时间序列和马尔可夫动态的知识。
我们的本节的目标是学习更多关于模拟、时间序列和马尔可夫动态的知识。

虽然我们的马尔可夫环境和许多我们考虑的概念与{doc}`有限马尔可夫链讲座 <finite_markov>`中的概念相关，但在当前应用中状态空间是连续的。
尽管我们的马尔可夫环境和涉及的概念与{doc}`有限马尔可夫链讲座 <finite_markov>`的概念是相关的，但在当前应用中状态空间是连续的。

让我们从一些导入开始
让我们从导入一些库开始

```{code-cell} ipython3
import matplotlib.pyplot as plt
Expand All @@ -60,7 +59,7 @@ from numba.experimental import jitclass

## 样本路径

考虑一个拥有库存 $X_t$ 的公司。
假设有一个公司，拥有库存 $X_t$。

当库存 $X_t \leq s$ 时，公司会补货至 $S$ 单位。

Expand All @@ -84,12 +83,12 @@ $$

其中 $\mu$ 和 $\sigma$ 是参数，$\{Z_t\}$ 是独立同分布的标准正态分布。

这里有一个类，用于存储参数并生成库存的时间路径。
下面是一个类，它用于存储参数并生成库存的时间路径。

```{code-cell} ipython3
firm_data = [
('s', float64), # 补货触发水平
('S', float64), # 容量
('s', float64), # 触发补货水平
('S', float64), # 库存总容量
('mu', float64), # 冲击位置参数
('sigma', float64) # 冲击规模参数
]
Expand Down Expand Up @@ -150,7 +149,7 @@ ax.legend(**legend_args)
plt.show()
```

现在让我们模拟多条路径，以便更全面地了解不同结果的概率：
现在让我们模拟多条路径，这样可以更好地了解库存动态的整体行为和可能的库存分布：

```{code-cell} ipython3
sim_length=200
Expand All @@ -170,13 +169,13 @@ plt.show()

## 边际分布

现在让我们来看看某个固定时间点 $T$ 时 $X_T$ 的边际分布 $\psi_T$。
现在让我们来看看某一固定时间点 $T$ 时 $X_T$ 的边际分布 $\psi_T$。

我们将通过在给定初始条件 $X_0$ 的情况下生成多个 $X_T$ 的样本来实现这一点。
我们将通过在给定初始条件 $X_0$ 的情况下，生成多个 $X_T$ 的样本来实现。

通过这些 $X_T$ 的样本，我们可以构建其分布 $\psi_T$ 的图像。

这里是一个可视化示例，其中 $T=50$。
下面是$T=50$的情况下的一个可视化示例。

```{code-cell} ipython3
T = 50
Expand Down Expand Up @@ -217,7 +216,7 @@ axes[1].hist(sample,
plt.show()
```

通过绘制更多样本，我们可以得到一个更清晰的图像
通过抽取更多样本，我们可以得到一个更清晰的图像

```{code-cell} ipython3
T = 50
Expand All @@ -239,18 +238,18 @@ ax.hist(sample,
plt.show()
```

请注意分布呈双峰
注意到分布呈双峰

* 大多数公司已经补货两次，但少数公司只补货一次（见上图路径）。
* 第二类公司的库存较低。
* 大多数公司已经补了两次货，但也有少部分公司只补货一次（见上图路径）。
* 第二种公司的库存较少。

我们也可以使用[核密度估计](https://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_density_estimation)来近似这个分布。
我们还可以使用[核密度估计](https://baike.baidu.com/item/核密度估计/10349033)来近似这个分布。

核密度估计可以被理解为平滑的直方图。

当被估计的分布可能是平滑的时候，核密度估计比直方图更可取。
当我们认为底层分布是平滑的时候，核密度估计通常比直方图提供更准确的图像。

我们将使用[scikit-learn](https://scikit-learn.org/stable/)中的核密度估计器
我们将使用[scikit-learn](https://scikit-learn.org/stable/)中的核密度估计量

```{code-cell} ipython3
from sklearn.neighbors import KernelDensity
Expand All @@ -271,7 +270,7 @@ plot_kde(sample, ax)
plt.show()
```

概率质量的分配与上面直方图所显示的类似。
概率密度的分配与上面直方图所显示的类似。

## 练习

Expand All @@ -280,30 +279,30 @@ plt.show()

这个模型是渐近平稳的，具有唯一的平稳分布。

（有关平稳性的背景讨论，请参见{doc}`我们关于AR(1)过程的讲座 <intro:ar1_processes>`——基本概念是相同的。）
（作为背景知识，有关平稳性的讨论，请参见{doc}`我们关于AR(1)过程的讲座 <intro:ar1_processes>`——基本概念是相同的。）

特别是，边际分布序列$\{\psi_t\}$正在收敛到一个唯一的极限分布，该分布不依赖于初始条件。
特别是，边际分布序列$\{\psi_t\}$正在收敛到一个唯一的极限分布，且该分布不依赖于初始条件。

虽然我们在这里不会证明这一点，但我们可以通过模拟来研究它。
虽然我们不会在此证明这一点，但我们可以通过模拟来研究这一性质。

你的任务是根据上述讨论，在时间点$t = 10, 50, 250, 500, 750$生成并绘制序列$\{\psi_t\}$。
你的任务是，根据上述讨论，在时间点$t = 10, 50, 250, 500, 750$生成并绘制序列$\{\psi_t\}$。

（核密度估计器可能是呈现每个分布的最佳方式。）
（核密度估计量可能是呈现每个分布最佳的方式。）

你应该能看到收敛性，体现在连续分布之间的差异越来越小。
你应该能看到收敛性，体现在两个连续分布之间的差异越来越小。

尝试不同的初始条件来验证，从长远来看，分布在不同初始条件下是不变的。
尝试使用不同的初始条件来验证，无论从哪个初始状态开始，长期分布都会收敛到相同的平稳分布。
```

```{solution-start} id_ex1
:class: dropdown
```

以下是一个可能的解决方案：
以下是其中一种解法：

这些计算涉及大量的CPU周期，所以我们试图高效地编写代码。
由于这个计算需要大量的计算资源，我们需要编写更高效的代码。

这意味着编写一个专门的函数，而不是使用上面的类。
为此，我们将创建一个专门的函数来替代之前使用的类，以提高计算效率。

```{code-cell} ipython3
s, S, mu, sigma = firm.s, firm.S, firm.mu, firm.sigma
Expand Down Expand Up @@ -352,34 +351,34 @@ ax.legend()
plt.show()
```

注意到在 $t=500$ 或 $t=750$ 时密度几乎不再变化。
从图中可以看出，随着时间的推移，分布逐渐收敛到一个稳定状态。

我们已经得到了平稳密度的合理近似。
在 t=500 和 t=750 时的分布几乎完全重合，表明我们已经得到了平稳密度的良好近似。

你可以通过测试几个不同的初始条件来确信初始条件并不重要。
你可以通过测试多个不同的初始条件，来确定初始条件确实不重要。

例如，尝试用所有公司从 $X_0 = 20$ 或 $X_0 = 80$ 开始重新运行上面的代码。
例如，你可以尝试将所有公司的初始库存设置为 $X_0 = 20$ 或 $X_0 = 80$，然后重新运行上面的代码，观察分布最终是否收敛到相同的稳态分布。

```{solution-end}
```

```{exercise}
:label: id_ex2

使用模拟计算从 $X_0 = 70$ 开始的公司在前50个周期内需要订货两次或更多次的概率。
使用模拟的方法，估计一家初始库存为 $X_0 = 70$ 的公司在前50个时期内至少需要补充库存两次的概率。

你需要一个较大的样本量来获得准确的结果。
为了获得统计上可靠的结果，请确保使用足够大的样本量。
```

```{solution-start} id_ex2
:class: dropdown
```

这是一个解决方案。
这里是一种解法。

同样，由于计算量相对较大，我们编写了一个专门的函数而不是使用上面的类。
同样地，由于计算量相对较大，我们编写了一个专门的函数而不是使用上面的类。

我们还将使用跨公司的并行化处理。
我们将利用并行计算来同时处理多家公司的模拟，以提高计算效率。

```{code-cell} ipython3
@jit(parallel=True)
Expand All @@ -405,7 +404,6 @@ def compute_freq(sim_length=50, x_init=70, num_firms=1_000_000):
return firm_counter / num_firms
```


记录程序运行所需的时间和输出结果。

```{code-cell} ipython3
Expand All @@ -415,12 +413,11 @@ freq = compute_freq()
print(f"至少发生两次缺货的频率 = {freq}")
```

尝试将上面jitted函数中的`parallel`标志改为`False`。
尝试将上面`@jit`[装饰器](https://zhuanlan.zhihu.com/p/53666925)中的`parallel`参数改为`False`。

根据你的系统配置，运行速度的差异可能会很大。

（在我们的台式机上，速度提升了5倍。）
（在我们的系统上运行速度提升了5倍！）

```{solution-end}
```

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